数学思想方法是数学解题的灵魂，是连接数学知识与实际解题能力的命脉与桥梁。数学思想方法包括函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等。学生在掌握这些思想方法后，解决问题也会更加的得心应手，同时也有助于培养其数学核心素养。

函数与方程思想，“函数”与“方程”可看作两个相亲相爱的“兄弟”，在解题中的应用较广泛。例如，用函数思想解方程、求方程根的个数、判断方程根的范围等。反过来，也可用方程的思想研究函数的性质，例如，判断函数单调性、求单调区间、判别式法求值域等。

总之，函数与方程思想既可以动态分析变化规律，也可以静态求解待定状态，帮助学生在解题时灵活选择最优解，进而提高解题效率。

数形结合，可理解为“看图说话”，以 “数”精确地研究形，以“形”直观地表达数。如，在集合问题上，可利用Venn图、数轴等几何工具分析集合间的关系、子集的计算等；在函数中，利用函数图像反映函数性质，解决函数问题；在解析几何中，求解点到线的距离、封闭图形的面积、圆锥曲线的标准方程等；在立体几何中，利用空间直角坐标系，通过向量法求解二面角的余弦值，与常规做法，即将二面角所对应的平面角找出来，然后计算各边的边长再利用余弦定理来求解相比，无论是难度上还是解题步骤上，前者的可操作性易于后者。

例1：如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．当时，求平面和平面夹角的余弦值．

【分析】建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用法向量夹角的余弦值,

求得两个平面夹角的余弦值,也可以作出二面角的平面角,几何法求解.

【解析】由题意知,,又由,

得为等腰直角三角形,且;

又,得,,且,在面内,

所以面,面,得面面且交线为,

设的中点为,则,面.

以为坐标原点,过点与平行的直线为轴,分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系,

得,，,,

 为的中点,得,

,;

设平面的一个法向量为，

则，，

可取；

平面的一个法向量可取，

因为，

所以平面和平面夹角的余弦值为．

以上典例可体现“数”的精确与“形”的直观相辅相成，能够优化解题，拆解难点知识，学生更容易理解接受。

分类讨论，学生最为熟悉的一种思想方法，贯穿整个学业生涯，可总结为“当第一种情况发生时，结果如何如何，当第二种情况发生时，结果如何如何”。在试题中，以求解含参数的函数最值问题、含参数方程、含参数不等式等最为常见，部分排列组合问题也涉及分类讨论。其核心思想是逻辑的完备性即不重不漏和问题的简化。在课堂上经常收到“这题不是不会，只是没想到这种情况”的反馈，因此在日常教学中要重点提醒学生注意审题，遇到题干条件可分多种情况讨论时，要第一时间想到运用分类讨论的数学思想。

转化与化归，其本质是将复杂问题简单化，未知的问题已知化，抽象的问题具体化，其作用于数学本身，可以具体理解为代数问题几何化，空间问题平面化，动态问题静态化、特殊问题一般化等。例如，在立体几何中，证明线线垂直问题时，可将线线垂直转化为线面垂直，即只需证明一条线垂直另一条线所在的平面，进而得到线线垂直的结论。从另一个维度上讲，大多数的立体几何问题都可以建立合适的空间直角坐标系，通过坐标法，借助空间向量，转化为代数问题进行解决；在学习数列知识时，经常会遇到一些相对复杂的数列求通项公式、求和等问题，此时就可以利用构造法将其转化为熟悉的等差或等比数列进行处理，问题便迎刃而解。

例2：已知数列的前项和为，若，.

(1)求；

(2)记，数列的前项和，证明：.

【分析】（1）由关系取可求，当时，用替换，与原式相减化简可得，由此可求结论；

（2）由（1）可求，由此可得，利用裂项相消法求，再证明结论.

【解析】（1）因为，①

所以当时，，且，所以.

当时，，②

由①②得，，整理得到，

所以，故，

故当时，，而也符合，

综上，当时，.

（2）由（1）知，则，即，

所以.

又因为为递增数列，所以，

故.

在日常教学中，注重引导学生主动思考，积极探索知识的形成过程，并能够感悟其中的化归思想，体会数学知识的应用价值，达到举一反三的教学效果。

数学思想方法的渗透不止于一朝一夕，而在于长期的知识积累和运用，可谓“润物细无声”。在应试环境下，师生面临的挑战或许是前所未有的，但万变不离其中，掌握数学思想方法，勇于钻研，敢于创新，适时调整解题策略，便可灵活应对各种挑战。

作为一名新时代的高中数学教师，肩负着时代赋予的使命，在教育教学中，深入挖掘教材，感悟数学思想，循序渐进地渗透给学生。相信学生，鼓励学生大胆想象，给予他们更多动手实践的空间和机会，一题多解，提高学生的创新思维能力，做学生生命成长的摆渡人！

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