【正文】

——以“基本不等式”的教学设计为例

  摘 要：近年来，高考命题已经从原来的知识立意、能力立意转变为素养导向，注重以问题情境为载体考查学生的学科核心素养.这对教师提出了更高的要求，教师要应对挑战，就要认真研究新课标、新教材，找到单元教学中核心素养的落脚点，在教学中注重以情境教学的方式启发学生积极思考，引导学生养成良好的学习习惯，让新课标、新教材的理念、内容和要求落实到教学的每一个环节.

　　本文以“基本不等式”一课为例，通过“引导发现、问题探究、互动式”的教学模式，对常态课堂的提质增效进行了尝试.
　　关键词：基本不等式；数学核心素养；课堂教学
　　四川省从2021年秋季高一新生开始实施新课标，使用新教材，即高中数学教科书（ 人教 A 版 2019 年出版） （ 以下简称“新教材”），同时推进高考改革.近年来，高考命题已经从原来的知识立意、能力立意转变为素养导向，在考查内容中融入数学文化，注重以问题情境为载体考查学生的学科核心素养.面对新课标、新教材和新高考，教师应该如何调整思路，应对挑战？如何在课堂教学的每个环节落实新课标、新教材的理念、内容和要求，迎接高考改革？
　　基本不等式作为不等式单元的重要内容，在人教版（ 2019 版） 教材中较以前有较大的改变，也是代数式教学的良好素材．基本不等式这一课时在内容编排、引入方式、例题设置均有变化，突出体现了它在高中数学课程中的地位与作用．本文将以新教材为指导，从知识构建过程的视角，研究基本不等式的教学设计，以问题链的形式，引导学生用数学眼光观察事物，用数学思维思考问题，用数学语言表达数学结果，从而培养学生的数学核心素养.
　　1、教材分析
　　新教材与 2004 年版的旧教材（ 人教 A 版） 相比，“基本不等式”在同一版本新旧教材的编排顺序有较大的不同，见图 1、图 2．基本不等式”的教学内容在呈现方式和例题设置方面也有较大改变．





















　　本节内容是基本不等式教学的第一课时，它是在学习了不等式的性质对不等式的进一步的研究，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点；本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材；在后面学习了导数之后，虽然可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处.
　　2、学情分析
　　（1）本节课的授课对象是高一年级的学生，他们已经具备了平面几何的基本知识，具有良好的图形分析能力和抽象概括能力.学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助，但对于基本不等式的多种代数几何背景的理解及用基本不等式解决二元变量函数的最值问题还有些困难；
　　（2）学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少；
　　（3）对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件.
　　3、教学目标
　　2003年发布的《普通高中数学课程标准（实验）》中对“基本不等式”一节要求实现的教学目标是：1.探索并了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；而《普通高中数学课程标准（2017年版）》则要求：1.学生掌握基本不等式；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
　　对比来看，新课标对“基本不等式”相关内容的要求提高了，由“了解”提高到了“掌握”，由原来“了解基本不等式的证明过程”变为“从不同角度探索基本不等式的证明过程；并要求能够“结合具体实例”用“基本不等式”解决问题，这就更加突出“基本不等式”的实际应用和数学建模这一核心素养.
　　因此，在新课标的引领下，依据教材内容和学生情况，确定本课时的教学目标为：
　　1. 经历基本不等式的发现归纳过程，能从具体中抽象出基本不等式，体会数学的一般性，发展学生数学抽象素养.
　　2. 经历基本不等式的证明过程，能用分析法证明不等式，体会数学的严谨性，发展学生逻辑推理、数学运算素养.
　　3. 通过寻找基本不等式的几何解释，能理解基本不等式的几何直观，体会数形结合思想，发展直观想象的素养；
　　4. 利用基本不等式求简单的最值问题，体会数学的灵活性，发展数学运算素养.
　　针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：
　　评价任务一：能否通过天平实验，探究出其蕴含的相等和不等的数值关系，经历基本不等式的发现过程，体会数学建模的过程.（数学抽象、数学建模）
　　评价任务二：能否通过折纸游戏，在动手操作中，对剪拼纸片的面积大小进行直观比较，进一步抽象概括和逻辑推理得到基本不等式，体会活动过程中合作学习的乐趣.（数学抽象、逻辑推理、直观想象）
　　评价任务三：能否通过基本不等式的证明过程，了解演绎证明的常用思想方法.（逻辑推理）
　　评价任务四：能否理解基本不等式的代数和几何意义，体会数形结合的数学思想方法.（数学抽象、直观想象）
　　评价任务五：能否通过例题的分析，初步感知二元变量的函数的概念，以及增加了变量的约束条件会使变量从二元向一元转化的过程.（数学运算、逻辑推理）
　　目标解析：
　　教学目标设置的两个特点：一是教学目标的设置都是以数学核心素养的提升为出发点；二是围绕“以生为本”教学理念，在引导学生通过“自主学习”与“合作探究”，掌握基本不等式证明的过程中，以发展数学核心素养为落脚点，培养学生运用数学建模和数形结合的能力.
　　4、教学重点与难点
　　教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式；从不同角度探索基本不等式的证明过程；利用基本不等式解决简单的最值问题.
　　教学难点：应用数形结合的思想理解基本不等式.
　　5、教学过程设计
　　5.1  创设情境，提出问题
　　情境1：天平实验
　　把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量.
　　不过，有人说我们可以做第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的真实质量呢？简单的做法是，取两次所称质量的和的一半，就是物体的真实重量.这种做法合理吗？




　　设计意图：情境1提出的实际问题新颖有趣，简单易懂，贴近生活，激发学生的学习兴趣，为后面发现基本不等式埋下伏笔.
　　5.2  合作探究，形成结论
　　活动2：折纸游戏
　　请同学们拿出两张大小不同的正方形的纸，并把它们分别沿对角线对折成两个等腰直角三角形.假设两个正方形的面积分别是a,b，则两个等腰直角三角形的面积分别是■,■ 请跟周围同学讨论一下，如何对这两个等腰直角三角形进行拼接和裁剪可以构成一个分别以■,■为长和宽的矩形，对比该矩形的面积与两个等腰直角三角形的面积和，你有什么发现？
　　设计意图：采用剪拼纸片的手工活动，从多边形纸片裁剪掉小三角形纸片后得到的矩形纸片面积变小，学生从中发现并提炼出公式化的基本不等式并发现取等条件.教师从基本不
　　等式的几何背景入手，通过拼图实验，使同学们直观感受基本不等式的形成过程，增强学习内驱力，激发同学们对数学知识的“再创造”．
　　问题1：基本不等式：■≤■(a＞0,b＞0) ，用文字语言如何描述？
　　设计意图：引导学生将符号语言转化成文字语言，巩固学生对基本不等式结构的认识.
　　问题2：你能否借助已证的重要不等式a2+b2≥2ab，分析a+b≥2■(a＞0,b＞0) 的成立性吗？
　　设计意图：激发学生的思维，使其发现重要不等式与基本不等式的内在联系.
　　问题3：还有没有其他证明基本不等式的方法？
　　设计意图：作差比较是学生最有可能想到的方法，是思考比较大小问题的一般性方法.
　　引导学生从多个角度证明基本不等式，培养逻辑推理能力，小组讨论可培养学生的合作交流能力，学生板演可及时发现学生的问题.
　　问题4：对于基本不等式，你能给出它的几何证明吗？
　　探究：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD、OD.则：
　　（1）半径OD=                              
　　（2）半弦CD=                              
　　（3）显然CD                   OD，即                            








　　学生：基本不等式的几何意义：半径不小于弦长的一半.
　　设计意图：学生自己发现基本不等式的几何解释相对较困难，给出几何图形后，借助初中阶段学生熟知的几何图形，并将问题细化，以填空形式呈现问题，有利于学生循序渐进地探索出基本不等式的几何意义，并进一步领悟基本不等式中等号成立的条件，升华理解.
　　问题5：移动点C在AB上的位置，你有什么发现？
　　学生：■为定值，当且仅当a=b时，■取最大值为■
　　问题6：如果以DE为弦作圆，当圆变化时，你有什么发现？
　　学生：■为定值，当且仅当a=b时，■取最小值为■










　　师生活动：学生观看教师“几何画板”演示的同时，思考、交流、讨论，如图所示.
　　在教师的引导下概括出基本不等式的几何意义：两正数的算术平均数大于等于几何平均数.
　　设计意图：用数学符号语言、日常语言和图形语言表述基本不等式，将几何意义和代数意义一起讲解，有助于学生从多个角度认识基本不等式，培养学生数学表达能力.通过“几何画板”的动态演示，让学生经历定值与最值的探索过程，发现基本不等式的外延的意义：可以处理最值问题，由直观图像上升到抽象的数学结论，不仅培养学生直观想象素养，同时又增强了他们数形结合的意识.
　　教师通过问题串的方式，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，在体会基本活动经验的过程中，掌握基础知识、提高基本技能、形成解决问题的基本思想与方法.渗透逻辑推理、直观想象等核心素养，充分体现“以人为本”的教育理念.
　　5.3  联系例题，迁移内化
　　例1： 已知x＞0，求x+■的最小值.
　　变式1 ：已知x＞0，求函数y=x+■的最小值.
　　变式2：已知x＞2，求函数y=x+■的最小值.
　　设计意图：采用简单例题进行公式运用，起点低，引导学生根据所求代数式的形式，判断是否利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范（模型）.
　　一题多变可更好的培养学生思维的发散性，强化学生对基本不等式的理解，同时培养学生形成严谨的思维习惯，具备反思的意识，同时总结规律，有利于构建系统完整的知识结构.
　　板演有利于及时发现学生解答中的问题，及时纠错.
　　5.4  课堂小结  收获几许
　　问题7：本节课你学习了哪些知识？掌握了什么方法？体会了哪些思想？
　　知识内容： 一个公式、两个概念、三类语言、三种证法.
　　一个公式：■≥■(a＞0,b＞0) 
　　两个概念：算术平均数■，几何平均数■
　　三类语言：符号语言、文字语言、图形语言
　　三种证法：比较法、换元法、几何法
　　数学思想：数学建模、数形结合
　　设计意图：从多个角度总结归纳本堂课的主要内容，不仅重视知识本身，更重视知识间的联系和研究问题的方法；另外，更强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用.
　　6、结束语
　　在概念课教学中，教师应将重点放在教什么、怎么教上，而非一味地追求分数，搞题海战术．教师首先应理解教学内容，明确该内容在整个数学结构中所处的地位，明确通过该内容的学习能够培养学生的哪几个数学核心素养，然后设计教学活动，落实核心素养的培养．以“基本不等式”为例的概念课教学很好地探究了在高中数学概念课教学中发展数学核心素养的策略： 情境构建，引入主要问题； 提出问题，明确教学目标； 互动探究，形成数学意识； 总结应用，发展反思认知能力．
　　参考文献：
　　[1]张玉萍.研究新课标、新教材，落实新课程理念——以“基本不等式”教学为例[J].甘肃教育研究，2022（04）：75-77.
　　[2]钟志华，李渺.基于变式教学的数学教学设计——以“基本不等式”为例[J].数学通报，2019，58（05）：23-27.
　　[3]方亚斌.怎样认识新课标中的基本不等式[J].数学通报，2013，52（02）：32-38.