【正文】

一、问题提出

调研题中有一道解三角形试题，笔者在评阅本班试卷过程中发现，只有几个同学将该题做对，而且学生的解法与参考答案都较为复杂，笔者现将参考答案的解法呈现出来。

    例 如图，在中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，，D，E分别是BC，AB上的点，，，AE=3EB，则边长AC的值为          . 

参考答案：

过E作于点H，设AC=x，则CD=x,,由和相似，得，因此，又为直角三角形，因此，，在三角形中，由余弦定理得，代入数据解得，即。

y

A

E

C

B

D

o

x

A

E

C

B

D

H

 

 

 

 

 

 

 

 

笔者的解法：

    如图所示，以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设A（0，a），B（b,0）,E(x₀,y₀)，由，，知D（a,0）,所以.

又，AE=3EB，所以，即E点坐标，

由，知，解得，所以，即。

对比以上两种解法，可以发现“建系法”较为简单，学生也容易理解，而参考答案的方法在实际课堂中，学生理解起来较为困难。在课后反思中，笔者联想到了章建跃^[1]教授写的一篇文章《注重通性通法才是好数学教学》，于是，笔者提出了几个问题，“建系法”是否具有通性通法?“建系法”有哪些应用？使用“建系法”需要满足什么条件？笔者围绕这几个问题展开了研究，现将整理成文，以方便大家的备考。

 

二、“建系法”的几点应用

应用1——解三角形

y

A

x

B

M

C

o

例1 已知中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，设向量

，且.

(1)求；

(2)若M是BC的中点，且AM=AC，求的值.

解(1):过程略；

（2）如图，取MC的中点为O点，连接OA，因为AM=AC，所以，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设C（a,0）,则M(-a,0),B(-3a,0),BC=4a

由（1）知，，所以，即，又C（a,0），所以，对用正弦定理得，解得。

应用2——求向量的数量积

    例2 （2016天津卷）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边

的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ）

（A）                             （B）                      （C）                    （D）

y

A

D

C

B

F

E

x

解：取BC的中点为E，连接AE，因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以，以E为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立坐标系，则，设F（x₀,y₀）,则，由，知，即，所以，，. 答案：B.

    例3（2015四川卷）设四边形ABCD为平行四边形，，若点M，N满足，则

   （A）20           （B）15           （C）9           （D）6

 

y

D

C

N

M

x

B

A

    解：如图所示，以A为原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，设，则

，设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则

，由，解得，即，同理可得，所以，易知

。答案：C.

    例4（2015天津卷）在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC,AB=2,BC=1,.动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为          .

解：以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则，又，则，

，所以

，当且仅当

，即时取等号，故的最小值为。

    评析：平面向量的数量积是近几年高考的热点问题，出现的频率较高。而处理平面向量数量积问题有三种方法；方法一：，该方法的缺点是必须知道向量间的夹角；方法二：对先进行线性运算，再利用乘法分配律展开分别做数量积，该方法对学生的运算要求较高，从教学的实际情况来看，学生不易掌握；法三：，该方法的缺点是必须知道向量的坐标，从教学的实际情况来看，学生相对容易掌握。因此处理此类问题时，可以根据题目中的条件建立相应的平面直角坐标系，利用平面向量的坐标，结合向量的坐标运算，能简化解题步骤，减少计算量，是解决此类题的较好方法。

应用3——求最值

    例5 给定长度为1的平面向量他们的夹角为120^o.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若，其中在x+y的最大值是          .

y

C

A

B

o

x

    解：以O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立直角坐标系，设，由他们的夹角为120^o，，知，由，知，因为，所以

，整理得，又x,y>0,所以由均值不等式知，解得，当且仅当x=y=1时，等号成立，所以x+y的最大值是2.

例6（2016年四川卷） 在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,﹒=﹒=﹒=-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是

    （A）       （B）        （C）       （D）

    解：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又

，它表示圆上点与点距离平方的，。答案：B.

评析：“建系法”主要是针对一些特殊图形，如：直角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形、矩形，一些特殊的位置，如：方位角问题等，通过建系描点的方法将平面图形的位置坐标化来处理相关的数学问题，有时可以达到非常好的效果，且直观简单，快捷方便。

应用4——解决实际问题

    例7（2016武汉调研）据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为

   （A）9h            (B)10h             (C)11h               (D)12h

D1

C1

y

A1

B1

D

C

P

A

x

B

y

B

o

A

x

解：如图所示，以码头为原点O，自西向东所在的直线为x轴建立直角坐标系，则设热点风暴中心坐标为A(400,0)，因为热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，所以经过t小时后，热带风暴中心坐标为B,若码头在危险区域内，所以，即，解得，所以所求时间为（h）。答案：B.

 

 

 

 

 

 

 

 

应用5——求轨迹

    例8（2010重庆卷）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

   （A）直线          （B）椭圆       （C）抛物线         （D）双曲线

解: 如图所示，构造长方体模型，设AB=a,AD=b,AA₁=c,A₁D₁，AB为两条异面直线，平面ABCD为过直线AB且平行于A₁D₁的平面，在平面ABCD中，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，设P点在平面内的坐标为(x,y)，则P到直线AB的距离为|y|,到直线A₁D₁的距离为，若点P满足到两互相垂直的异面直线AB，A₁D₁的距离相等，则，即，所以点P的轨迹为双曲线。答案：D.

评析：立体几何中的动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，很大程度上是选取适当的平面，在平面内建立直角坐标系来转化问题。

结束语

    建系描点法就是在研究和解决实际问题、解三角形问题、平面向量问题、立体几何问题时，将该问题转化为平面解析几何问题。一般总是将复杂问题转化为简单问题，将难解问题转化为容易解决的问题，将未解决问题转化为已解决的问题，将孤立的知识点转化为综合的知识点。章建跃教授曾说：在“通性通法”中，“通性”就是概念所反映的数学基本性质，“通法”就是概念所蕴含的思想方法。解题教学中，注重基础知识及蕴含的思想方法，才是数学教学追求的长期利益。

参考文献

[1].章建跃.注重通性通法才是好数学教学[J].中学生数学（中学版），2011（11）.