——高中数学发散思维解题方法与策略初探

  在高中数学学习中，对数字的巧用、活用，常常能收到事半功倍的作用，发挥、挖掘数学自身的灵活性，变“死”为“活”，常能收到解题的奇效。又特别是在不等式、三角函数、参数方程与极坐标等章节的学习应用中，巧用数字，既能提升数学发散思维能力，又能很好的彰显数学学习的乐趣。如果我们能在教学中，适时的给予引导，让学生既能充分体验到数学的乐趣，回归数学作为自然学科的特点，又能改变数学学习的枯燥与乏味性，改变数学学习中的繁琐与苦闷，我姑且把她作为教学的一种解题策略。下面以数字“1”为例，希能起到抛砖引玉作用，更希望与同行们相互交流。不当之处请批评、指正。
　　在高中数学中，不等式的证明以及利用不等式来求最值问题是必须掌握的内容，而很多试题解法大部分中规中矩，根据不等式的性质，加上变形技能，利用常有的解题方法和步骤，都能实现求解。但在有些试题中，为了锻炼学生的发散思维，拓宽学生的解题的能力和视野，突出数学的学科的特点，又需要超出一般的常规的解题技巧和方法。本文今天列举的就是其中的一部分，也就是灵活的利用好数字“1”的特殊性，利用1=2×■=3×■=……的特殊性。下面我们来看妙用数字1，求最值的2个事例。
　　例题1、已知0<X<2,则X(1-■X)的最大值是（   ）
　　A.■  B.■  C.■  D.■
　　解析：此题解法肯定考虑用不等式的性质，但是如果用常规的方法，势必会比较困难。我们看到∵0<X<2，∴1-■X>0 ,但X+■不为定值，所以不能直接使用均值不等式的性质。为此在数字“1”上做文章，由于1=3×■,于是原式X(1-■X)=3×■X×(1-■X)≤3×■=■。得到答案B。
　　例题2、（08年衡水七校联考）已知x>0,y>0，且■+■=1。求x+y的最小值。
　　解析：此题基本上可以想到，会主要运用均值不等式来求其最小值，但是我们又知道，目前直接并不具备均值不等式的结构。为此，得想出构造结构，创造条件来解题。不错，还是考虑用“1”变形来构造。解：因为1=■+■,∴(x+y)=(x+y)（■+■）=1+■+■+9.又因为x>0，y>0，∴■>0,■>0,上式1+■+■+9≥10+2■=10+6=16。所以x+y的最小值是16（此时有■=■成立，）。问题得到解决。以上2个例题只是活用数字“1”的典型代表，在不等式问题中，这种解题的方法和技巧还有很多，大家不妨在以后的教学和学习中留意。
　　在高中数学中，三角函数图像及其性质、参数方程和极坐标（作为选学内容，但不少学校的老师和学生任然会考虑选学这部分内容）等两个章节内容中，对数字的灵活的运用，也往往会收到奇效。常见的方法就是利用1=sin2α+cos2α=tanβ·cosβ
　　下面列举2例：
　　例题3、（2005上海高考）将参数方程x=1+2cosθy=2sinθ（θ为参数）化为普通方程，所得的方程是________.
　　解析：本题经初步分析，可以考虑利用已有的三角函数的性质，充分运用1=sin2θ+cos2θ，来达到进一步消参的目的。解：由x=1+2cosθy=2sinθ变形，得2cosθ=x-12sinθ=y，上面2式平方相加得4(sin2θ+cos2θ)=(x-1)2+y2，即(x-1)2+y2=4。
　　例题4、我们再来看看现行人教版教材中的一道例题，曾在高中数学第二册第六章不等式章末小结与复习例题1中，灵活的对“1”进行妙用、活用的解题方法技巧，可谓诠释得更加充分、完美。
　　已知：a、b、c、d都是实数，且a2+b2=1,c2+d2=1,求证：|ac+bd|≤1
　　证明：方法一（三角代换法），我们任然可以考虑利用1=sin2θ+cos2θ的事实，令cosα=a,sinα=b,cosβ=c,sinβ=d(其中α,β均属于[0,2■])，这样则有|ac+bd|=|cosαcosβ+sinαsinβ|=|cos(α+β)|.因为α，β均属于[0,2■])，所以|cos(α+β|≤1.即证|ac+bd|≤1.此方法中，数字1的妙用恰当好处，使问题化繁为简，其实质既是活用数字与三角函数性质，其另一面也是运用转化法，运用新的知识点来解决问题，这样做能很好的锻炼学生的发散思维，也让学生感觉到数学的活与美，也能较好的激发学生的学习兴趣。
　　方法二：（比较法）|ac+bd|≤1等价于证明-1≤ac+bd≤1。先证-1≤ac+bd，即ac+bd+1≥0,∵1=■+■,∴ac+bd+1=ac+bd+■+■.而1=a2+c2，1=b2+d2，所以ac+bd+1=ac+bd+■+■=ac+bd+■+■=■≥0，∴ac+bd≥-1；再证明ac+bd≤1.要证明ac+bd≤1，即证明1-(ac+bd)≥0.由方法一知道1=■+■，所以1-(ac+bd)=■+■-(ac+bd)=■+■-ac-bd==■≥0，所以有ac+bd≤1.综上所述，|ac+bd|≤1.
　　上式的证明过程中，恰好灵活运用数字“1”，分别用1=sin2θ+cos2θ,1=■+■,再结合已知条件的a2+c2=1,b2+d2=1，从而巧妙得以证明。
　　以上几种类型数学知识中，巧妙的对数字“1”进行使用，恰当好处的解决数学中的问题，让我们切实感受到了数学的魅力所在。这种转换也能很好的培养学生的发散思维能力，数学的天地是缤纷绚烂的，数学和大自然一样，同样蕴藏着许多的快乐，只要我们喜欢她，爱上她，深究她，你就会找到快乐，获得成功，从而遨游数学世界而“乐不思蜀”。